Sistem Bilangan Real

Sistem Bilangan Real. 

Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada konsep tentang himpunan.Himpunan adalah sekumpulan obyek/unsur dengan kriteria/syarat tertentu. Unsur-unsur dalam himpunan S disebut anggota (elemen) S. Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut himpunan kosong, ditulis dengan notasi {   }.

Jika a merupakan anggota himpunan S, maka  dibaca “a elemen S”. Jika a bukan anggota himpunan S, maka dibaca “a bukan elemen S”.

Pada umumnya, sebarang himpunan dapat dinyatakan dengan 2 cara. Pertama, dengan mendaftar seluruh anggotanya. Sebagai contoh, himpunan A yang terdiri atas unsur-unsur 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dapat dinyatakan sebagai:

Cara yang kedua, yaitu dengan menuliskan syarat keanggotaan yang dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan tetapi tidak dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. Apabila himpunan A di atas dinyatakan dengan cara ini, maka dapat ditulis:

Selanjutnya, akan disampaikan beberapa himpunan bilangan yang dipandang cukup penting.

Bilangan rasional adalah bilangan yang merupakan hasil bagi bilangan bulat dan bilangan asli. Himpunan semua bilangan rasional ditulis dengan notasi Q,

Sedangkan bilangan phi merupakan hasil bagi keliling sebarang lingkaran terhadap diameternya (Gambar 1.1.2).

Continue reading Sistem Bilangan Real

Turunan Fungsi Trigonometri

rumus trigonometri berikut ini.

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

Rumus Sudut Rangkap

Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus

Turunan Dua Fungsi Trigonometri Dasar

Fungsi sinus dan kosinus dapat dipandang sebagai dua fungsi dasar dalam trigonometri. Hal ini karena untuk fungsi-fungsi trigonometri lainnya seperti tangen, kotangen, sekan, dan kosekan selalu dapat dituliskan kedalam dua fungsi dasar tersebut. Untuk lebih jelasnya, perhatikan tabel berikut.

Turunan dari fungsi sinus dan kosinus dapat ditentukan dengan memanfaatkan definisi turunan. Setelah kita mendapatkan turunan dari dua fungsi dasar ini, selanjutnya akan lebih mudah untuk menentukan turunan dari fungsi trigonometri lainya.

f (x) akan memiliki turunan yang berupa fungsi f ‘ (x) yang didefinisikan sebagai:

Dengan menggunakan definisi di atas, akan ditentukan turunan dari fungsi sinus dan kosinus.

• Turunan f (θ) = sin θ

Turunan dari f (θ) = sin θ akan ditentukan dengan menggunakan definisi turunan.

Jadi, turunan dari fungsi f (θ) = sin θ adalah f ‘ (θ) = cos θ.

• Turunan g (θ) = cos θ

Turunan dari g (θ) = cos θ akan ditentukan dengan menggunakan definisi turunan.

Jadi, turunan dari fungsi g (θ) = cos θ adalah g ‘ (θ) = -sin θ.

Menentukan Turunan Fungsi Trigonometri Lainnya

Turunan dari fungsi trigonometri tangen, kotangen, sekan, dan kosekan dapat ditentukan dengan memanfaatkan hasil turunan dari fungsi sinus dan kosinus.

• Turunan f (θ) = tan θ

Mula-mula, kita tulis ulang fungsi ini kedalam fungsi dasar trigonometri.
f (θ) = tan θ = sinθcosθ

Misalkan u = sin θ dan v = cos θ, sehingga u ‘ = cos θ dan v ‘ = -sin θ.

Dengan menerapkan aturan turunan fungsi rasional (pecahan), maka diperoleh:

Jadi, turunan dari fungsi f (θ) = tan θ adalah f ‘ (θ) = sec2 θ.

• Turunan f (θ) = cot θ

Turunan fungsi f (θ) = cot θ ditentukan dengan cara yang sama dengan penentuan turunan fungsi tangen.

f (θ) = cot θ = cosθsinθ

Misalkan u = cos θ dan v = sin θ, sehingga u ‘ = -sin θ dan v ‘ = cos θ.

Dengan menerapkan aturan turunan fungsi rasional (pecahan), maka diperoleh:

Jadi, turunan dari fungsi f (θ) = cot θ adalah f ‘ (θ) = -csc2 θ.

• Turunan f (θ) = sec θ

Turunan fungsi f (θ) = sec θ ditentukan dengan cara yang sama dengan penentuan turunan fungsi tangen dan kotangen.

f (θ) = sec θ = 1cosθ

Misalkan u = 1 dan v = cos θ, sehingga u ‘ = 0 dan v ‘ = -sin θ.

Dengan menerapkan aturan turunan fungsi rasional (pecahan), maka diperoleh:

Jadi turunan dari fungsi f (θ) = sec θ adalah f (θ) = tan θ . sec θ.

• Turunan f (θ) = csc θ

f (θ) = csc θ = 1sinθ

Misalkan u = 1 dan v = sin θ, sehingga u ‘ = 0 dan v ‘ = cos θ.

Dengan menerapkan aturan turunan fungsi rasional (pecahan), maka diperoleh:

Jadi, turunan dari fungsi f (θ) = csc θ adalah f ‘ (θ) = -cot θ . csc θ.

Dari uraian di atas, diperoleh turunan fungsi trigonometri dasar adalah sebagai berikut.

Turunan Fungsi Trigonometri dengan Aturan Rantai

Aturan rantai memainkan peranan penting dalam penentuan turunan fungsi, baik pada fungsi aljabar, maupun fungsi trigonometri. Mari kita ingat kembali tentang aturan rantai pada fungsi aljabar.

Aturan rantai
Misalkan y = f (u) dan u = g (x), y memiliki turunan di u dan u memiliki turuan di x, sehingga fungsi komposisi y = (f o g) (x) = f (g (x)) memiliki turunan di x yaitu:

(f o g)’ (x) = f ’ (g (x)). g ’ (x) atau:
dydx=dydu.dudx

Aturan rantai pada fungsi trigonometri diterapkan dengan cara yang sama dengan fungsi aljabar.

Contoh berikut akan menunjukan bagaimana aturan rantai dapat mempermudah kamu dalam menentukan turunan fungsi trigonometri. Mari simak dengan saksama.

Contoh1

Jika y = sin (θ2 + 2θ), tentukanlah y ‘.

Penyelesaian:
Misalkan u = θ2 + 2θ, sehingga y = sin u.

Dengan menentukan turunan u terhadap θ, dan y terhadap u diperoleh:

Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh:

Contoh 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x) = sin3 3x.

Misalkan v = 3x dan u = sin v, sehingga y = u3.

Dengan menentukan turunan u terhadap x, u terhadap v, dan y terhadap u diperoleh:

Dengan menggunakan aturan rantai dperoleh:

Jadi, turunan pertama dari fungsi tersebut adalah y ‘ = 9 sin2 3x cos 3x.

Continue reading Turunan Fungsi Trigonometri

Limit Fungsi

1. Definisi dan Pengertian Limit

1.1. Definisi Limit

Berikut adalah definisi limit menurut Austin Louis Cauchy:

Sebuah fungsi f(x) mempunyai  jika dan hanya jika untuk sembarang bilangan real  maka terdapat bilangan real  sedemikian hingga memenuhi:

 maka 

1.2. Pengertian Limit

Supaya lebih memahami pengertian limit, berikut disajikan contoh:

Perhatikan fungsi aljabar . Agar fungsi f(x) terdefinisi, nilai x dibatasi yaitu x ≠ 1. Jika batas nilai x tersebut didekati, akan diperoleh hasil bahwa nilai fungsi mendekati 3 seperti terlihat pada tabel berikut:

x	0,99	0,999	0,9999	0,99999	…	1	…	1,00001	1,0001	1,001
	2,9701	2,997001	2997	2,99997	…	-	…	3,00003	3,0003	3,003001

Pada kasus seperti di atas dikatakan limit  untuk x mendekati 1 adalah 3, ditulis: .

2. Limit Fungsi

 artinya nilai x mendekati nilai a (tetapi x ≠ a) maka f(x) mendekati nilai L.

2.1. Sifat-Sifat Teorema Limit Fungsi

1. 
2. 
3. 
4. 
5. Jika  dan  maka: 
6. 
7. 
8. , untuk 
9. Jika  maka:  untuk L ≠ 0
10. 

2.2. Menentukan Nilai dari Suatu 

1. Jika f(a) = k maka 
2. Jika  maka 
3. Jika  maka 
4. Jika  atau bentuk tertentu  maka sederhanakan bentuk f(x) sehingga diperoleh bentuk f(a) seperti (1), (2), dan (3).

2.3. Limit Fungsi Tak Terhingga

1. 
2.  Jika pangkat tertinggi f(x) sama dengan pangkat tertinggi g(x)
3.  Jika pangkat tertinggi f(x) lebih kecil dari pangkat tertinggi g(x)
4.  Jika pangkat tertinggi f(x) lebih besar dari pangkat tertinggi g(x)

3. Limit Fungsi Aljabar

3.1. Limit Fungsi Aljabar Berhingga

1. Jika f(a)=C, maka nilai 
2. Jika , maka nilai 
3. Jika , maka nilai  disederhanakan dulu menjadi bentuk 1, 2, atau 3

3.2. Limit Fungsi Aljabar Tak Terhingga

Menentukan nilai  atau :

1. Jika n = m maka 
2. Jika n > m maka 
3. Jka n < m maka 

4. Limit Fungsi Trigonometri

Untuk menghitung nilai limit fungsi trigonometri digunakan rumus-rumus berikut:

1. 
2. 
3. 
4. 

Kemudian, secara umum dapat menggunakan langkah-langkah cepat seperti di bawah ini:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 

Jika terdapat fungsi cos maka ubahlah ke dalam bentuk sebagai berikut:

1. cos x diubah menjadi 
2.  diubah menjadi 

Berikut adalah sifat-sifat teorema limit fungsi geometri lainnya:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

5. Kontinuitas

Suatu fungsi kontinu di x = a jika:

1. f(a) real
2. 
3. 

Continue reading Limit Fungsi