Turunan Fungsi Trigonometri

rumus trigonometri berikut ini.

Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

Rumus Sudut Rangkap

Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus

Turunan Dua Fungsi Trigonometri Dasar

Fungsi sinus dan kosinus dapat dipandang sebagai dua fungsi dasar dalam trigonometri. Hal ini karena untuk fungsi-fungsi trigonometri lainnya seperti tangen, kotangen, sekan, dan kosekan selalu dapat dituliskan kedalam dua fungsi dasar tersebut. Untuk lebih jelasnya, perhatikan tabel berikut.

Turunan dari fungsi sinus dan kosinus dapat ditentukan dengan memanfaatkan definisi turunan. Setelah kita mendapatkan turunan dari dua fungsi dasar ini, selanjutnya akan lebih mudah untuk menentukan turunan dari fungsi trigonometri lainya.

f (x) akan memiliki turunan yang berupa fungsi f ‘ (x) yang didefinisikan sebagai:

Dengan menggunakan definisi di atas, akan ditentukan turunan dari fungsi sinus dan kosinus.

• Turunan f (θ) = sin θ

Turunan dari f (θ) = sin θ akan ditentukan dengan menggunakan definisi turunan.

Jadi, turunan dari fungsi f (θ) = sin θ adalah f ‘ (θ) = cos θ.

• Turunan g (θ) = cos θ

Turunan dari g (θ) = cos θ akan ditentukan dengan menggunakan definisi turunan.

Jadi, turunan dari fungsi g (θ) = cos θ adalah g ‘ (θ) = -sin θ.

Menentukan Turunan Fungsi Trigonometri Lainnya

Turunan dari fungsi trigonometri tangen, kotangen, sekan, dan kosekan dapat ditentukan dengan memanfaatkan hasil turunan dari fungsi sinus dan kosinus.

• Turunan f (θ) = tan θ

Mula-mula, kita tulis ulang fungsi ini kedalam fungsi dasar trigonometri.
f (θ) = tan θ = sinθcosθ

Misalkan u = sin θ dan v = cos θ, sehingga u ‘ = cos θ dan v ‘ = -sin θ.

Dengan menerapkan aturan turunan fungsi rasional (pecahan), maka diperoleh:

Jadi, turunan dari fungsi f (θ) = tan θ adalah f ‘ (θ) = sec2 θ.

• Turunan f (θ) = cot θ

Turunan fungsi f (θ) = cot θ ditentukan dengan cara yang sama dengan penentuan turunan fungsi tangen.

f (θ) = cot θ = cosθsinθ

Misalkan u = cos θ dan v = sin θ, sehingga u ‘ = -sin θ dan v ‘ = cos θ.

Dengan menerapkan aturan turunan fungsi rasional (pecahan), maka diperoleh:

Jadi, turunan dari fungsi f (θ) = cot θ adalah f ‘ (θ) = -csc2 θ.

• Turunan f (θ) = sec θ

Turunan fungsi f (θ) = sec θ ditentukan dengan cara yang sama dengan penentuan turunan fungsi tangen dan kotangen.

f (θ) = sec θ = 1cosθ

Misalkan u = 1 dan v = cos θ, sehingga u ‘ = 0 dan v ‘ = -sin θ.

Dengan menerapkan aturan turunan fungsi rasional (pecahan), maka diperoleh:

Jadi turunan dari fungsi f (θ) = sec θ adalah f (θ) = tan θ . sec θ.

• Turunan f (θ) = csc θ

f (θ) = csc θ = 1sinθ

Misalkan u = 1 dan v = sin θ, sehingga u ‘ = 0 dan v ‘ = cos θ.

Dengan menerapkan aturan turunan fungsi rasional (pecahan), maka diperoleh:

Jadi, turunan dari fungsi f (θ) = csc θ adalah f ‘ (θ) = -cot θ . csc θ.

Dari uraian di atas, diperoleh turunan fungsi trigonometri dasar adalah sebagai berikut.

Turunan Fungsi Trigonometri dengan Aturan Rantai

Aturan rantai memainkan peranan penting dalam penentuan turunan fungsi, baik pada fungsi aljabar, maupun fungsi trigonometri. Mari kita ingat kembali tentang aturan rantai pada fungsi aljabar.

Aturan rantai
Misalkan y = f (u) dan u = g (x), y memiliki turunan di u dan u memiliki turuan di x, sehingga fungsi komposisi y = (f o g) (x) = f (g (x)) memiliki turunan di x yaitu:

(f o g)’ (x) = f ’ (g (x)). g ’ (x) atau:
dydx=dydu.dudx

Aturan rantai pada fungsi trigonometri diterapkan dengan cara yang sama dengan fungsi aljabar.

Contoh berikut akan menunjukan bagaimana aturan rantai dapat mempermudah kamu dalam menentukan turunan fungsi trigonometri. Mari simak dengan saksama.

Contoh1

Jika y = sin (θ2 + 2θ), tentukanlah y ‘.

Penyelesaian:
Misalkan u = θ2 + 2θ, sehingga y = sin u.

Dengan menentukan turunan u terhadap θ, dan y terhadap u diperoleh:

Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh:

Contoh 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi f (x) = sin3 3x.

Misalkan v = 3x dan u = sin v, sehingga y = u3.

Dengan menentukan turunan u terhadap x, u terhadap v, dan y terhadap u diperoleh:

Dengan menggunakan aturan rantai dperoleh:

Jadi, turunan pertama dari fungsi tersebut adalah y ‘ = 9 sin2 3x cos 3x.